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由问题的起源看导数的定义II


2020-07-25



连结:由问题的起源看导数的定义I

在前一篇文章中,我们已经看过费马求极值的方法了,也就是当 \(e\) 是个很微小的量时(亦即趋近于 \(0\)),让 \(\frac{f(a+e)-f(a)}{e}\) 这个值「尽可能的逼近」\(0\)。

接下来我们来看看牛顿求切线的方法。

牛顿求切线的方法

下面的方法出现在牛顿的《曲线求积术》,撰写于 1693 年,并于 1704 年作为《光学》一书的附录正式发表。牛顿以求切线的策略与方法,说明他的「流数方法(即求导数的方法)」,并举函数为 \(y=x^n\) 为例,实际演练操作他的方法。他的方法分解步骤如下:

由问题的起源看导数的定义II

\((1)\)

设坐标 \(BC\) 从原处移动到新位置 \(bc\),作矩形 \(BCEb\),

并画直线 \(VTH\) 与曲线「接触」于 \(C\)(亦即相切于 \(C\) 点),

同时与直线 \(bc\) 和 \(BA\) 延长相交于 \(V\)和 \(T\)。

简单地说,为求得过 \(C\) 点的切线,只要知道 \(V\) 的位置即可(亦即 \(VB\)的长度),

因此要先求三角形 \(VBC\) 中的边长比,例如 \(\frac{BC}{VB}\)。

然而三角形 \(VBC\) 与三角形 \(CET\) 相似,因此转换成须求得 \(\frac{ET}{CE}\)。

\((2)\) 作直线 \(Cc\) 并延长至 \(K\)。

接下来,牛顿说:

令纵坐标 \(bc\) 回到原先位置 \(BC\),

当 \(C\) 与 \(c\) 趋合时,直线 \(CK\) 将与切线 \(CH\) 趋合,

三角形 \(CEc\) 的最终形式将变得与三角形 \(CET\) 相似,

其边 \(CE\),\(Ec\) 和 \(Cc\) 相互之比最终将等于另一三角形 \(CET\) 的边 \(CE\),\(ET\) 和 \(CT\) 之比,

即再转换成求得 \(\frac{cE}{CE}\)。

若点 \(C\) 与 \(c\) 之间相差任意小,则直线 \(CK\) 与切线 \(CH\) 同样将相差任意小。

为使直线 \(CK\) 与切线 \(CH\) 重合,并能求出最终比 \(\frac{cE}{CE}\),

点 \(C\) 与 \(c\) 必须趋近,并且完全重合。在数学中即使是最微小的误差也不应忽略。」,

他的意思也就是说,让 \(C\) 与 \(c\) 之间仅差一个微小的增量 \(o\),当 \(c\) 沿着曲线趋近于 \(C\) 时,割线 \(CK\) 的「最终形式」即为切线 \(CH\)。

\((3)\) 以函数 \(y=x^n\) 为例, 设量 \(x\) 均匀地流动,并设问题是要求 \(x^n\) 的流数(即导函数)。

在量 \(x\) 因流动而变为 \(x+o\) 的同时,量 \(x^n\) 将变为 \((x+o)^n\),

根据牛顿所称的无穷级数法,亦即我们现在所称的幂级数,

将 \((x+o)^n\) 展开等于 \({x^n} + no{x^{n – 1}} + \frac{{{n^2} – n}}{2}oo{x^{n – 2}}+\cdots \)

增量 \(o\) 与 \(no{x^{n – 1}} + \frac{{{n^2} – n}}{2}oo{x^{n – 2}}+\cdots\) 之比等于 \(1:n{x^{n – 1}} + \frac{{{n^2} – n}}{2}o{x^{n – 2}}+\cdots \)

现在令增量 \(o\) 消逝,它们的最终比将等于 \(\frac{1}{{n{x^{n – 1}}}}\)。

在牛顿求切线的方法中,他最后将问题转换成求 \(\frac{cE}{CE}\),这个比值也就是我们现在所称的割线的斜率。而牛顿所用的方法本质上即是当 \(C\) 点与 \(c\) 趋近时,即是微小的增量 \(o\) 逼近于 \(0\) 时,计算 \(\frac{{f(x + o) – f(x)}}{o}\) 所逼近的值(牛顿求的是这个比值的倒数)。

在牛顿发明微积分的那几年中,他所使用的技巧基本上都一样,只是针对微小增量 \)o\( 这个备受争议的基础,他的想法与解释一变再变,先以运动学以及源自于运动的无限小的「瞬间」为基础来解释他的方法,后来曾经有段时间不使用运动学的观点,最后又回到变化的观点上。他将变数 \(x\) 视为连续的变化,\(o\) 为变量(他称为流量)的「瞬」,他说:

因设 \(o\) 是无限小,它可以表示量的瞬,那些包含它作因子的项,相对其他项而言将等于 \(0\),所以我将它们捨弃而得到…

在 1693 年写成的《曲线求积术》(Tractatus de quadratura Curvarum),他的想法改以以「首末比」的方式提出,他说

流数非常接近于在相等但却很小的时间间隔内生成的流量的增量,确切地说,它们是初生增量的最初比(they are the first ratio of the nascent augments),但可用任何与之成比例的线段来表示。

然后他又说:

为了同样的目的,现在把流数理解为消逝部分的最终比 (It comes to the same purpose to take the fluxions in the ultimate ratio of the evanescent parts)。…

简单地说,就是当微小的增量 \(o\) 逼近于 \(0\) 时,计算 \(\frac{f(x+o)-f(x)}{o}\) 所逼近的值。牛顿的「首末比」的方法,其实已有现在我们使用的极限想法在内。而在1687年的《自然哲学的数学原理》中,他已将微小量「瞬」称为「瞬逝的可分量」(evanescent divisible quantities),已将其视为可以无止尽减小的量了。

莱布尼兹的 dx 与 dy

不同于牛顿处理微小增加量比值的想法,莱布尼兹(Gottfried Wilhelm von Leibniz, 1646~1716)直接处理 \(x\) 与 \(y\) 的无限小增加量,即他的微分 \(dx\) 与 \(dy\),并决定它们之间的关係。

由问题的起源看导数的定义II

在 1680 年的论文中,他的 \(dx\) 成为横座标的差分,\(dy\) 则是纵座标的差分,他说「现在 \(dx\) 和 \(dy\) 被当作无限小,或是在曲线上距离小于任意长的点」,\(dy\) 是纵座标 \(y\) 在 \(x\) 移动时的「瞬间增加量(momentaneous increment)」,而求切线的最佳途径即是求 \(\frac{dy}{dx}\)。

如图,要求过曲线上的 \(T\) 点的切线时时,在曲线上 \(T\) 点附近找点 \(P,Q\),\(P\) 与 \(Q\) 点的距离可以任意小,莱布尼兹认为弦 \(PQ\) 可视为曲线在 \(P,Q\) 之间的部分,也可视为切线的一部份。但这个无限小的三角形 \(PQR\),却保持与三角形 \(STU\) 相似,因此 \(\frac{dy}{dx}=\frac{TU}{SU}\)。

对他而言,当 \(dx\) 与 \(dy\) 减少时,会达到近乎消失的小,或是无穷小的值,此时 \(dx\) 与 \(dy\) 的值不是 \(0\),但是比任何给定的数都还要小。

以现在我们的后见之明来看,极限理论似乎是针对「无穷小量」问题的最适当解决之道。

然而,当爱尔兰哲学家兼英国国教柯隆尼区主教柏克莱(George Berkeley 1685~1753)对无穷小量的批评引来相当多的回应时,许多的数学家确实也想要替微积分建立严格的基础,尝试将「无穷小量」的概念说明得更清楚、更精确,这其中包含欧拉(Leonhard Euler, 1707~1783)、拉格朗日(Joseph-Louis Lagrange, 1736~1813)等等。

当然其中也有过一些人尝试用「极限」概念来说明,例如十八世纪的达朗贝 (Jean Le Rond d’Alembert, 1717~1783)在《百科全书》的「极限」条目就曾指出:「极限理论是微分真正的形上学基础」。然而,一直到十九世纪初柯西(Augustin Louis Cauchy, 1789~1857)决定将微积分的基础放在极限的概念上,微积分基础的严格化才在他的努力下,稍微有点重要成果出现。

参考文献

Calinger, R. ed. (1995). Classics of Mathematics. New Jersey: Prentice-Hall, Inc.Katz, Victor J. (1993). A History of Mathematics: An Introduction. New York: HarperCoollins College Publishers.李文林主编 (2000).《数学珍宝》,台北:九章出版社。Kline, M. (1983).《数学史—数学思想的发展》(林炎全、洪万生、杨康景松译),台北:九章出版社。Kline, M.(2004).《数学确定性的失落》(赵学信、翁秉仁译),台北:台湾商务印书馆。

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